：皮球从给定高度自由落下后，第一次落地时经过的距离为s1=2h

### 回答1：皮球从给定高度自由落下后，第一次落地时经过的距离为s1=2h，第一次反弹的高度为h/2。第二次落地时，皮球从h/2的高度自由落下，经过的距离为s2=2(h/2)+2(h/2) = 2h，第二次反弹的高度为(h/2)/2 = h/4。以此类推，第n次落地时，皮球经过的距离为sn=2h+2(h/2)+2(h/4)+...+2(h/2^(n-1))，第n次反弹的高度为h/2^(n)。化简sn可得：sn=2h(1-1/2^n)/(1-1/2) = 2h(1-1/2^n)，第n次反弹的高度为h/2^n。因此，皮球在第n次落地时，在空中一共经过的距离为2h(1-1/2^n)，第n次反弹的高度为h/2^n。### 回答2：皮球自由落下，反弹到原高度的一半，再落下，再反弹，不断循环。这是一个反复过程，以n表示落地的次数。可以将这个问题分解成每次落下和反弹的过程分别统计。在一个完整的循环中，皮球从高度h自由落下梦见悬在空中的建筑物落下，再弹起，每一次弹起高度都是下落高度的一半梦见悬在空中的建筑物落下，即h/2。所以第一次落地后，皮球在空中经过的距离为h+h/2=3/2h。第一次弹起后，球的高度为h/2。接下来，皮球从高度h/2自由落下梦见悬在空中的建筑物落下，再弹起，每一次弹起高度都是下落高度的一半，即h/4。

所以第二次落地后，皮球在空中经过的距离为h/2+h/4+h/2=5/4h。第二次弹起后，球的高度为h/4。通过以上方法，我们可以得出第n次落地时，在空中一共经过的距离为h（1+1/2+…+1/2^(n-1)+(1/2)^(n-1)）=2h(1-（1/2）^n)。第n次反弹的高度为h/2^n。因此，当球在一个高度为h的建筑物上自由落下n次，并在达到地面后反弹回到原来的高度的一半时，在空中一共经过了2h(1-（1/2）^n)的距离。第n次反弹的高度为h/2^n。### 回答3：皮球从某给定高度自由落下，假设初始高度为H。第一次落地后，反弹到原高度的一半，即高度为H/2。第二次落地后，反弹到高度为H/2的一半，即高度为H/4。以此类推，第n次反弹的高度为H/(2^(n-1))。现在我们来推导皮球在第n次落地时，在空中一共经过多少距离。我们可以先算出皮球在第n次落地前的总运动距离S：皮球从给定高度自由落下后，第一次落地时经过的距离为s1=2h，再减去反弹的高度，就可以得到皮球在第n次落地时，在空中一共经过的距离。第一次落地前，皮球下落的距离为H，上升的距离为H/2，所以第一次落地前的总运动距离为S1=H+H/2=3H/2。第二次落地前，皮球下落的距离为H/2，上升的距离为H/4，所以第二次落地前的总运动距离为S2=H/2+H/4+H/2=5H/4。

以此类推，第n次落地前的总运动距离为Sn=H+H/2+H/4+...+H/(2^(n-1))。用等比数列的公式求和，Sn=H(2-1/2^(n-1))。第n次落地时：皮球从给定高度自由落下后，第一次落地时经过的距离为s1=2h，在空中一共经过的距离为Sn-(H/(2^(n-1)))=H(2-1/2^(n-1))-H/(2^(n-1))=H(2-1/2^n)。综上所述，在第n次落地时，在空中一共经过的距离为H(2-1/2^n)，第n次反弹的高度为H/(2^(n-1))。